Question

水平地面上有一個(gè)球，現(xiàn)用如下方法測(cè)量球的表面積：用銳角45°的等腰直角三角板的斜邊緊靠球面，P為切點(diǎn)，一條直角邊AC緊靠地面，并使三角板與地面垂直，如果測(cè)得PA=1cm，則球的表面積等于

 

cm²．

Answer 1

考點(diǎn)：球的體積和表面積

專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：設(shè)球與地面的切點(diǎn)為B，球心為O，連結(jié)OA、OB、OP．由切線的性質(zhì)和四邊形ABOP內(nèi)角和定理，算出∠POB=45°，因此△POA中，可得∠POA=

1

2

×45°=22.5°．由正切的定義在Rt△POA中算出OP=

PA

tan22.5°

=1+

2

得球半徑R=1+

2

，再利用球表面積公式可算出答案．

解答： 解：設(shè)球與地面的切點(diǎn)為B，球心為O，連結(jié)OA、OB、OP
∵四邊形ABOP中，OP⊥AP，OB⊥AB
∴∠POB=180°-∠PAB=∠PAC=45°
因此，△POA中∠POA=

1

2

×45°=22.5°
Rt△POA中，OP=

PA

tan22.5°

=1+

2

即球的半徑R=1+

2

，
得球的表面積為S=4πR²=4π×（1+

2

）²=（12+8

2

）πcm²．
故答案為：（12+8

2

）π．

點(diǎn)評(píng)：本題給出球與等腰直角三角板相切，在已知切點(diǎn)到等腰直角三角形的頂點(diǎn)的距離情況下，求球的表面積．著重考查了切線的性質(zhì)、四邊形ABOP內(nèi)角和定理、球的表面積公式等知識(shí)，屬于中檔題．