Question

13．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x（x+1）+1，
（1）求函數(shù)f（x）的解析式．
（2）寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由于函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，可得f（-x）=-f（x），f（0）=0．再利用當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x（x+1）+1，可得x＜0時(shí)的解析式．
（2）畫出函數(shù)圖象即可得出單調(diào)性．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），f（0）=0．
設(shè)x＜0，則-x＞0，
∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x（x+1）+1，
∴f（-x）=-x（1-x）+1=x（x-1）+1，
∴f（x）=-f（-x）=x（1-x）-1．
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（x+1）+1，x＞0}\\{0，x=0}\\{x（1-x）-1，x＜0}\end{array}\right.$．
（2）如圖所示，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}，x＞0}\\{0，x=0}\\{-（x-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{3}{4}，x＜0}\end{array}\right.$，
可知：函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．