Question

證明不等式：

1

2

×

3

4

×…×

2n-1

2n

＜

1

2n+1

（n∈N^*）．（提示：放縮法可以利用（2n+1）（2n-1）＜（2n）²即

2n-1

2n

＜

2n

2n+1

  ）

Answer 1

考點：反證法與放縮法,不等式的證明

專題：推理和證明

分析：把所證明的不等式的左側(cè)的每一項，利用

2n-1

2n

＜

2n

2n+1

，放大，即可證明不等式．

解答： 證明：∵4n²-1＜4n²，即（2n+1）（2n-1）＜（2n）²．即

2n-1

2n

＜

2n

2n+1

，
∴（

1

2

×

3

4

×…×

2n-1

2n

）²=

1

2

×

3

4

×…×

2n-1

2n

×

2

3

×

4

5

×

6

7

…×

2n

2n+1

=

1

2n+1

，
∴

1

2

×

3

4

×…×

2n-1

2n

＜

1

2n+1

（n∈N^*）．

點評：本題考查不等式的證明，利用放縮法證明的關(guān)鍵是放大與縮小，不能隨便放縮．