Question

某音樂噴泉噴射的水珠呈拋物線形，它在每分鐘內(nèi)隨時(shí)間t（秒）的變化規(guī)律大致可用y=-（1+4sin²

tπ

60

）x²+20（sin

tπ

60

）x（t為時(shí)間參數(shù)，x的單位：m）來描述，其中地面可作為x軸所在平面，泉眼為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂直于地面的直線為y軸．
（1）試求此噴泉噴射的圓形范圍的半徑最大值；
（2）若在一建筑物前計(jì)劃修建一個(gè)矩形花壇并在花壇內(nèi)裝置兩個(gè)這樣的噴泉，則如何設(shè)計(jì)花壇的尺寸和兩個(gè)噴水器的位置，才能使花壇的面積最大且能全部噴到水？

Answer 1

考點(diǎn)：已知三角函數(shù)模型的應(yīng)用問題,圓方程的綜合應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,三角函數(shù)的求值

分析：（1）令y=0，可結(jié)合t∈（0，60），即可求出噴泉噴射的圓形范圍的半徑最大值；
（2）花壇的長、寬分別為xm，ym，根據(jù)要求，矩形花壇應(yīng)在噴水區(qū)域內(nèi)，頂點(diǎn)應(yīng)恰好位于噴水區(qū)域的邊界，問題轉(zhuǎn)化為在x＞0，y＞0，

x2

4

+y2=100的條件下，求S=xy的最大值．

解答： 解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，x=

20sin tπ 60

1+4sin2 tπ 60

=

20

sin-1 tπ 60 +4sin tπ 60

，…（3分）
因t∈（0，60）時(shí)，sin

tπ

60

∈(0，1)，故sin-1

tπ

60

+4sin

tπ

60

≥4，
從而當(dāng)sin

tπ

60

=

1

2

，即當(dāng)t=10或50時(shí)，x有最大值5，
所以此噴泉噴射的圓形范圍的半徑最大值是5m；…（7分）
（2）設(shè)花壇的長、寬分別為xm，ym，根據(jù)要求，矩形花壇應(yīng)在噴水區(qū)域內(nèi)，頂點(diǎn)應(yīng)恰好位于噴水區(qū)域的邊界，依題意得：(

x

4

)2+(

y

2

)2=25，（x＞0，y＞0）
問題轉(zhuǎn)化為在x＞0，y＞0，

x2

4

+y2=100的條件下，求S=xy的最大值．…（10分）
∵S=xy=2•

x

2

•y≤

x2

4

+y2=100，
由

x

2

=y和

x2

4

+y2=100及x＞0，y＞0得：x=10

2

，y=5

2

，
∴S_max=100                      …（13分）
答：花壇的長為10

2

m，寬為5

2

m，兩噴水器位于矩形分成的兩個(gè)正方形的中心，符合要求．    …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)模型的運(yùn)用，考查基本不等式，考查學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，屬于中檔題．