Question

某音樂噴泉噴射的水珠呈拋物線形，它在每分鐘內(nèi)隨時間t（秒）的變化規(guī)律大致可用y=-（1+4sin²

tπ

60

）x²+20（sin

tπ

60

）x（t為時間參數(shù)，x的單位：m）來描述，其中地面可作為x軸所在平面，泉眼為坐標原點，垂直于地面的直線為y軸．
（1）試求此噴泉噴射的圓形范圍的半徑最大值；
（2）若在一建筑物前計劃修建一個矩形花壇并在花壇內(nèi)裝置兩個這樣的噴泉，則如何設計花壇的尺寸和兩個噴水器的位置，才能使花壇的面積最大且能全部噴到水？

Answer 1

考點：已知三角函數(shù)模型的應用問題,圓方程的綜合應用

專題：應用題,三角函數(shù)的求值

分析：（1）令y=0，可結合t∈（0，60），即可求出噴泉噴射的圓形范圍的半徑最大值；
（2）花壇的長、寬分別為xm，ym，根據(jù)要求，矩形花壇應在噴水區(qū)域內(nèi)，頂點應恰好位于噴水區(qū)域的邊界，問題轉化為在x＞0，y＞0，

x2

4

+y2=100的條件下，求S=xy的最大值．

解答： 解：（1）當y=0時，x=

20sin tπ 60

1+4sin2 tπ 60

=

20

sin-1 tπ 60 +4sin tπ 60

，…（3分）
因t∈（0，60）時，sin

tπ

60

∈(0，1)，故sin-1

tπ

60

+4sin

tπ

60

≥4，
從而當sin

tπ

60

=

1

2

，即當t=10或50時，x有最大值5，
所以此噴泉噴射的圓形范圍的半徑最大值是5m；…（7分）
（2）設花壇的長、寬分別為xm，ym，根據(jù)要求，矩形花壇應在噴水區(qū)域內(nèi)，頂點應恰好位于噴水區(qū)域的邊界，依題意得：(

x

4

)2+(

y

2

)2=25，（x＞0，y＞0）
問題轉化為在x＞0，y＞0，

x2

4

+y2=100的條件下，求S=xy的最大值．…（10分）
∵S=xy=2•

x

2

•y≤

x2

4

+y2=100，
由

x

2

=y和

x2

4

+y2=100及x＞0，y＞0得：x=10

2

，y=5

2

，
∴S_max=100                      …（13分）
答：花壇的長為10

2

m，寬為5

2

m，兩噴水器位于矩形分成的兩個正方形的中心，符合要求．    …（14分）

點評：本題考查三角函數(shù)模型的運用，考查基本不等式，考查學生利用數(shù)學知識解決實際問題的能力，屬于中檔題．