Question

已知a∈R，函數(shù)f(x)=lnx+

1

x

+ax．
（Ⅰ）當(dāng)a=0時，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間[2，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=0時，求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求f（x）的最小值；
（Ⅱ）分類討論，利用f（x）在區(qū)間[2，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，可利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，建立不等式，分離參數(shù)，求最值，即可求a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=0時，f（x）=lnx+

1

x

（x＞0），
所以f′（x）=

x-1

x2

．
所以，當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＜0；當(dāng)x＞1時，f′（x）＞0．
所以，當(dāng)x=1時，函數(shù)有最小值f（1）=1．　　　　…（6分）
（Ⅱ）f′（x）=

ax2+x-1

x2

．
當(dāng)a≥0時，ax²+x-1在[2，+∞）上恒大于零，即f′（x）＞0，符合要求．
當(dāng)a＜0時，要使f（x）在區(qū)間[2，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，
當(dāng)且僅當(dāng)x∈[2，+∞）時，ax²+x-1≤0恒成立．
即a≤

1-x

x2

恒成立．
設(shè)g（x）=

1-x

x2

，則g′(x)=

x-2

x3

，
又x∈[2，+∞），所以g′（x）≥0，即g（x）在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)，
所以g（x）的最小值為g（2）=-

1

4

，所以a≤-

1

4

．
綜上，a的取值范圍是a≤-

1

4

，或a≥0．…（13分）

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的最大值，考查函數(shù)的單調(diào)性，正確分離參數(shù)求最值是關(guān)鍵．