Question

已知F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓E：

x2

a2

+y²=1（a＞1）的左、右焦點，A，B分別為橢圓的上、下頂點，若F₂到直線AF₁的距離為

2

．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過橢圓的右頂點C的直線l與橢圓交于點D（點D不同于點C），交y軸于點P（點P不同于坐標(biāo)原點O），直線AD與BC交于點Q，試判斷

OP

•

OQ

是否為定值，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出

2• bc a = 2 b=1

，由此能求出橢圓E的方程．
（2）設(shè)直線CD：y=k（x-

2

），（k≠0），則P（0，-

2

k），聯(lián)立

x2 2 +y2=1 y=k(x- 2 )

，得(1+2k2)x2-4

2

k2x+4k2-2=0，由此利用韋達定理結(jié)合已知條件能求出

OP

•

OQ

是為定值1．

解答： 解：（1）∵F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓E：

x2

a2

+y²=1（a＞1）的左、右焦點，
A，B分別為橢圓的上、下頂點，F(xiàn)₂到直線AF₁的距離為

2

．
∴

2• bc a = 2 b=1

，解得a=

2

，
∴橢圓E的方程為

x2

2

+y2=1．
（2）

OP

•

OQ

是為定值1．
證明：∵橢圓的右頂點C（

2

，0），
∴設(shè)直線CD：y=k（x-

2

），（k≠0），則P（0，-

2

k），
聯(lián)立

x2 2 +y2=1 y=k(x- 2 )

，得（1+2k²）x²-4

2

k2x+4k2-2=0，
∴x_C•x_D=

4k2-2

1+2k2

，
∴xD =

4k2-2

(1+2k2)xC

=

2 2 k2- 2

1+2k2

，
設(shè)點Q（x′ ，y′），直線BC的方程為y=

1

2

(x-

2

)，A、D、Q三點共線，
則有

y′= 1 2 (x′- 2 ) y′-1 x′ = yD-1 xD

，∴

x′= 2 y′+ 2 1 x′ = yD-1 xD(y′-1)

，
∴

2

y′+

2

=

xD(y′-1)

yD-1

，
∴

y′-1

y′+1

=

2 (yD-1)

xD

，
又∵yD=k(xD-

2

)，∴

y′-1

y′+1

=

2 kxD-2k- 2

xD

=

2

k-

2k+ 2

xD

，
將x_D=

2 2 k2- 2

1+2k2

代入，得：

y′-1

y′+1

=

2 k+1

1- 2 2 k

，∴y′=-

1

2 k

，
∴

OP

•

OQ

=(0，-

2

k)•(x′，-

1

2 k

)=1．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查向量的數(shù)量積是否為定值的判斷與證明，解題時要認(rèn)真審題，注意直線方程、韋達定理、橢圓性質(zhì)等知識點的靈活運用．