Question

定義在（0，π）上的函數(shù)f（x）滿足f′（x）•sinx＜f（x）•cosx，則下列不等式正確的是（　�。�

• A、f（

  π

  3

  ）＜

  3

  •f（

  π

  6

  ）
• B、

  1

  2

  •f（

  1

  2

  ）＜sin

  1

  2

  •f（

  π

  6

  ）
• C、sin2•f（1）＜sin1•f（2）
• D、sin1•f（

  1

  2

  ）＜sin

  1

  2

  •f（1）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：觀察所給選項(xiàng)的形式，構(gòu)造函數(shù)g（x）=

f(x)

sinx

，求出g′（x），判斷其單調(diào)性，從而確定選項(xiàng)的正誤．

解答： 解：設(shè)g（x）=

f(x)

sinx

，則g′（x）=

f′(x)•sinx-f(x)•cosx

(sinx)2

＜0，
即g（x）在（0，π）上是減函數(shù)，
∴g(

π

3

)＜g(

π

6

)，
即

f( π 3 )

sin π 3

＜

f( π 6 )

sin π 6

，化簡(jiǎn)得，f（

π

3

）＜

3

•f（

π

6

），故A選項(xiàng)正確．
B選項(xiàng)中，由g(

1

2

)＞g(

π

6

)，化簡(jiǎn)得

1

2

•f（

1

2

）＞sin

1

2

•f（

π

6

），故B選項(xiàng)錯(cuò)誤．
C選項(xiàng)中，由g（1）＞g（2），化簡(jiǎn)得sin2•f（1）＞sin1•f（2），故C選項(xiàng)錯(cuò)誤．
D選項(xiàng)中，由g(

1

2

)＞g(1)，化簡(jiǎn)得sin1•f(

1

2

)＞sin

1

2

•f(1)，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故答案選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題的解題關(guān)鍵在于構(gòu)造出函數(shù)g（x）=

f(x)

sinx

，通過(guò)求導(dǎo)的方式研究其單調(diào)性，從而解決相關(guān)問(wèn)題．學(xué)生在做選擇題時(shí)，根據(jù)題型的特征，有時(shí)可以由選項(xiàng)給出解題思路，本題就是一個(gè)典型的例子，由選項(xiàng)的格式構(gòu)造出函數(shù)g（x），從而進(jìn)一步答題．