Question

9．已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，依次構(gòu)成一個(gè)公差為$\frac{π}{2}$的等差數(shù)列，把函數(shù)f（x）的圖象沿x軸向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，則（　　）

• A． g（x）是奇函數(shù)
• B． g（x）的圖象關(guān)于直線x=-$\frac{π}{4}$對(duì)稱
• C． g（x）在[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上的增函數(shù)
• D． 當(dāng)x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]時(shí)，g（x）的值域是[-2，1]

Answer 1

分析 利用正弦函數(shù)的周期性求得ω的值，可得f（x）的解析式，再利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，正弦函數(shù)的單調(diào)性、定義域和值域，得出結(jié)論．

解答 解：函數(shù)f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
依次構(gòu)成一個(gè)公差為$\frac{π}{2}$的等差數(shù)列，
∴$\frac{T}{2}$=$\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{2}$，∴ω=2，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
把函數(shù)f（x）的圖象沿x軸向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，
得到函數(shù)g（x）=2sin[2（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2cos2x的圖象，
故g（x）是偶函數(shù)，故排除A；
當(dāng)x=-$\frac{π}{4}$時(shí)，g（x）=0，故g（x）的圖象不關(guān)于直線x=-$\frac{π}{4}$對(duì)稱，故排除B；
在[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上，2x∈[$\frac{π}{2}$，π]，故g（x）在[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上的減函數(shù)，故排除C；
當(dāng)x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]時(shí)，2x∈[$\frac{π}{3}$ $\frac{4π}{3}$]，當(dāng)2x=π時(shí)，g（x）=2cos2x取得最小值為-2，
當(dāng)2x=$\frac{π}{3}$時(shí)，g（x）=2cos2x取得最大值為1，故函數(shù) g（x）的值域?yàn)閇-2，1]，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的周期性，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，正弦函數(shù)的單調(diào)性、定義域和值域，屬于中檔題．