Question

已知矩陣M=

1 0 0 1 2

．
（Ⅰ）求M²，M³，并猜想Mⁿ的表達(dá)式；
（Ⅱ）試求曲線x²+y²=1在矩陣M^-1變換下所得曲線的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：幾種特殊的矩陣變換

專題：選作題,矩陣和變換

分析：（Ⅰ）利用二階矩陣的乘法，可求M²，M³，并猜想Mⁿ的表達(dá)式；
（Ⅱ）先求出矩陣M^-1，根據(jù)矩陣變換特點(diǎn)，寫出兩對坐標(biāo)之間的關(guān)系，代入曲線x²+y²=1得到曲線x²+y²=1在矩陣M^-1變換下所得曲線的方程．

解答： 解：（Ⅰ） M2=

1 0 0 1 2

1 0 0 1 2

=

1 0 0 1 4

，
M3=M2M=

1 0 0 1 4

1 0 0 1 2

=

1 0 0 1 8

猜想Mn=

1 0 0 1 2n

…（3分）
（Ⅱ）∵|M|=

1

2

，∴M-1=

1 0 0 2

，
即在矩陣M^-1的變換下有

x′=x y′=2y

，故

x=x′ y= 1 2 y′

由x²+y²=1得x′2+(

1

2

y′)2=1，即x′2+

y′2

4

=1
故曲線x²+y²=1在矩陣M^-1變換下所得曲線的方程為x2+

y2

4

=1．…（7分）

點(diǎn)評：本題主要考查二階矩陣的變換，考查運(yùn)算求解能力，比較基礎(chǔ)．