Question

四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，M、N分別是AB、PC的中點．
（Ⅰ）證明：MN∥平面PAD．
（Ⅱ）若CM=PM，MN⊥AB，證明：平面PAD⊥平面PDC．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）作PB的中點G，連結NG，MG，由N，G，均為中點，推斷出NG∥BC，進而根據BC∥AD，推斷出NG∥AD，最后根據線面平行的判定定理推斷出NG∥平面PAD，同理可知MG∥平面PAD，進而根據面面平行的判定定理推斷出平面MNG∥平面PAD，根據面面平行的性質推斷出MN∥平面PAD．
（Ⅱ）由CM=PM，N為中點，推斷出MN⊥PC，進而根據AB∥CD，MN⊥AB，推斷出MN⊥CD，利用線面垂直的判定定理可知MN⊥平面PDC，進而由MN∥平面PAD．推斷出平面PAD⊥平面PDC．

解答： 證明：（Ⅰ）作PB的中點G，連結NG，MG，
∵N，G，均為中點，
∴NG∥BC，
∵BC∥AD，
∴NG∥AD，
∵AD?平面PAD，NG?平面PAD，
∴NG∥平面PAD，
同理可知MG∥平面PAD，
∵MG?平面MNG，NG?平面MNG，MG∩NG=G，
∴平面MNG∥平面PAD，
∵MN?平面MNG，
∴MN∥平面PAD．
（Ⅱ）∵CM=PM，N為中點，
∴MN⊥PC，
∵AB∥CD，MN⊥AB，
∴MN⊥CD，
∵CD?平面PDC，PC?平面PDC，CD∩PC=C，
∴MN⊥平面PDC，
∵MN∥平面PAD．
∴平面PAD⊥平面PDC．

點評：本題主要考查了面面垂直的判定定理，線面平行的判定定理的運用．第一問中，先證明出面面平行是前提．