Question

A_k={x|x=kt+

1

kt

，

1

k2

≤t≤1}，其中k=2，3，…，2014，則所有A_k的交集為

 

．

Answer 1

考點：交集及其運算,函數的單調性及單調區(qū)間

專題：函數的性質及應用,不等式的解法及應用,集合

分析：由基本不等式得到，x=kt+

1

kt

≥2，再由函數的單調性得到函數的最值，進而可得到答案．

解答： 解：由于k=2，3，…，2014，

1

k2

≤t≤1，
則x=kt+

1

kt

≥2

kt• 1 kt

=2，
當k=2時，x=2t+

1

2t

，

1

4

≤t≤1，
由于x=2t+

1

2t

在區(qū)間[

1

4

，

1

2

]上為減函數，在[

1

2

，1]上遞增函數，
故此時x≤2×

1

4

+

1

2× 1 4

=2

1

2

，
當k=3時，x=3t+

1

3t

，

1

9

≤t≤1，
由于x=3t+

1

3t

在區(qū)間[

1

9

，

1

3

]上為減函數，在[

1

3

，1]上遞增函數，
故此時x≤3×

1

9

+

1

3× 1 9

=3

1

3

，
…
當k=2014時，x=2014t+

1

2014t

，

1

20142

≤t≤1，
由于x=2014t+

1

2014t

在區(qū)間[

1

20142

，

1

2014

]上為減函數，在[

1

2014

，1]上遞增函數，
故此時x≤2014×

1

20142

+

1

2014× 1 20142

=2014

1

2014

，
又由A_k={x|x=kt+

1

kt

，

1

k2

≤t≤1}，其中k=2，3，…，2014，
則所有A_k的交集為[2，

5

2

]．
故答案為：[2，

5

2

]．

點評：本題考查集合的基本運算，基本不等式的應用以及函數的單調性，屬于中檔題．