Question

已知f（x）=e^x（x²+mx+1-2m），其中m∈R．
（Ⅰ）當m=1時，求函數(shù)y=f（x）單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）求證：對任意m∈R，函數(shù)y=f（x）的圖象在點（0，f（0））處的切線恒過定點；
（Ⅲ）是否存在實數(shù)m的值，使得y=f（x）在（-∞，+∞）上有最大值或最小值，若存在，求出實數(shù)m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）當m=1時，求導函數(shù)，令導數(shù)大于0，即可求函數(shù)y=f（x）單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）解法1：求導函數(shù)，可得函數(shù)y=f（x）的圖象在點（0，f（0））處的切線方程，取兩個特殊點，即可得出結論；解法2：切線方程（m-1）x+y+2m-1=0可化為m（x+2）-（x-y+1）=0，可得結論；
（Ⅲ）解法1：求導函數(shù)，構造函數(shù)，分類討論，分別研究判別式，可得要使y=f（x）在（-∞，+∞）上有最大值或最小值，只需滿足f（x₂）≤0即y₁≤0有解，即可求出實數(shù)m的取值范圍；解法2：要使y=f（x）在（-∞，+∞）上有最大值或最小值，只需滿足f（x₂）≤0，建立不等式，即可求出實數(shù)m的取值范圍．

解答： （Ⅰ）解：當m=1時，f（x）=e^x（x²+x-1），f'（x）=e^x（x²+3x）
令f′（x）＞0，得x＞0或x＜-3
∴函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-3），（0，+∞）…（4分）
（Ⅱ）解法1：f'（x）=e^x[x²+（m+2）x+（1-m）]f（0）=1-m，f'（0）=1-2m
函數(shù)y=f（x）的圖象在點（0，f（0））處的切線方程為y-（1-2m）=（1-m）（x-0）
即（m-1）x+y+2m-1=0
令m=0，則有x-y+1=0…①
令m=1，則有y=-1…②
由①②，解得

x=-2 y=-1

經(jīng)檢驗，點（-2，-1）滿足直線的方程（m-1）x+y+2m-1=0
∴函數(shù)y=f（x）的圖象在點（0，f（0））處的切線方程（m-1）x+y+2m-1=0經(jīng)過定點（-2，-1）．…（9分）
解法2：f'（x）=e^x[x²+（m+2）x+（1-m）]f（0）=1-m，f'（0）=1-2m
∴函數(shù)y=f（x）的圖象在點（0，f（0））處的切線方程為y-（1-2m）=（1-m）（x-0）
即（m-1）x+y+2m-1=0
方程（m-1）x+y+2m-1=0可化為m（x+2）-（x-y+1）=0
當

x+2=0 x-y+1=0

即

x=-2 y=-1

時，對任意m∈R，（m-1）x+y+2m-1=0恒成立
∴函數(shù)y=f（x）的圖象在點（0，f（0））處的切線方程（m-1）x+y+2m-1=0經(jīng)過定點（-2，-1）．…（9分）
（Ⅲ）解法1：f'（x）=e^x[x²+（m+2）x+（1-m）]
令y1=x2+mx+1-2m，y2=x2+(m+2)x+(1-m)，
△1=m2-4(1-2m)=m2+8m-4，△2=(m+2)2-4(1-m)=m2+8m
①當△₂≤0即-8≤m≤0時，y=x²+（m+2）x+（1-m）≥0
∴f'（x）=e^x[x²+（m+2）x+（1-m）]≥0
∴y=f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增
∴y=f（x）在（-∞，+∞）上不存在最大值和最小值．…（11分）
②當△₂＞0即m＜-8或m＞0時，設方程x²+（m+2）x+（1-m）=0的兩根為x₁，x₂f'（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

當x→-∞時，f（x）＞0，f（x）→0；當x→+∞時，f（x）→+∞
∴要使y=f（x）在（-∞，+∞）上有最大值或最小值，只需滿足f（x₂）≤0即y₁≤0有解
∴△1=m2-4(1-2m)=m2+8m-4≥0，解得m≤-4-2

5

或m≥-4+2

5

綜上可得，m≤-4-2

5

或m≥-4+2

5

…（14分）
解法2：f'（x）=e^x[x²+（m+2）x+（1-m）]
令y1=x2+mx+1-2m，y2=x2+(m+2)x+(1-m)，
△1=m2-4(1-2m)=m2+8m-4，△2=(m+2)2-4(1-m)=m2+8m
①當△₂≤0即-8≤m≤0時，y=x²+（m+2）x+（1-m）≥0
∴f'（x）=e^x[x²+（m+2）x+（1-m）]≥0
∴y=f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增
∴y=f（x）在（-∞，+∞）上不存在最大值和最小值．…（11分）
②當△₂＞0即m＜-8或m＞0時，設方程x²+（m+2）x+（1-m）=0的兩根為x₁，x₂x1=

-(m+2)- m2+8m

2

，x2=

-(m+2)+ m2+8m

2

f'（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

當x→-∞時，f（x）＞0，f（x）→0；當x→+∞時，f（x）→+∞
∴要使y=f（x）在（-∞，+∞）上有最大值或最小值，只需滿足f（x₂）≤0f(x2)=x22+mx2+1-2m=[x22+(m+2)x2+(1-m)]-2x2-m=-m-2x2≤0
∴-2×

-(m+2)+ m2+8m

2

-m=m+2-

m2+8m

-m≤0
化簡，得m²+8m-4≥0
解得m≤-4-2

5

或m≥-4+2

5

綜上可得，m≤-4-2

5

或m≥-4+2

5

…（14分）

點評：本題考查導數(shù)知識的綜合運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查導數(shù)的幾何意義，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于難題．