Question

等比數(shù)列{a_n}的公比為q，其前n項(xiàng)積為T_n，且滿足a₁＞1，a₉₉•a₁₀₀-1＞0，

a99-1

a100-1

＜0．得出下列結(jié)論：（1）0＜q＜1；（2）a₉₉•a₁₀₀-1＜0；（3）T₁₀₀的值是T_n中最大的；（4）使T_n＞1成立的最大自然數(shù)n等于198．其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A、1個(gè)
• B、2個(gè)
• C、3個(gè)
• D、4個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：綜合題,簡(jiǎn)易邏輯

分析：利用等比數(shù)列的性質(zhì)及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式判斷出①正確．利用等比數(shù)列的性質(zhì)及不等式的性質(zhì)判斷出②正確．
利用等比數(shù)列的性質(zhì)判斷出③錯(cuò)誤．利用等比數(shù)列的性質(zhì)判斷出④正確，從而得出結(jié)論．

解答： 解：∵a₉₉a₁₀₀-1＞0，∴a₁²•q¹⁹⁷＞1，∴（a₁•q⁹⁸）²＞1．
∵a₁＞1，∴q＞0．
又∵

a99-1

a100-1

＜0，∴a₉₉＞1，且a₁₀₀＜1．∴0＜q＜1，即①正確．
∵a₉₉•a₁₀₁=a₁₀₀²，0＜a₁₀₀＜1，∴0＜a₉₉•a₁₀₁ ＜1，即 a₉₉•a₁₀₁-1＜0，故②正確．
由于 T₁₀₀=T₉₉•a₁₀₀，而 0＜a₁₀₀＜1，故有 T₁₀₀＜T₉₉，∴③錯(cuò)誤．
④中T₁₉₈=a₁•a₂…a₁₉₈=（a₁•a₁₉₈）（a₂•a₁₉₇）…（a₉₉•a₁₀₀）=（a₉₉•a₁₀₀）⁹⁹＞1，
T₁₉₉=a₁•a₂…a₁₉₉=（a₁•a₁₉₉）（a₂•a₁₉₈）…（a₉₉•a₁₀₁）a₁₀₀＜1，∴④正確．
∴正確的為①②④，
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等比數(shù)列的性質(zhì)：若m+n=p+q則有a_m•a_n=a_p•a_q．其中根據(jù)已知條件得到a₉₉＞1，a₁₀₀＜1，是解答本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．