Question

某種商品每件進(jìn)價(jià)9元，售價(jià)20元，每天可賣出69件．若售價(jià)降低，銷售量可以增加，且售價(jià)降低x（0≤x≤11）元時(shí)，每天多賣出的件數(shù)與x²+x成正比．已知商品售價(jià)降低3元時(shí)，一天可多賣出36件．
（Ⅰ）試將該商品一天的銷售利潤表示成x的函數(shù)；
（Ⅱ）該商品售價(jià)為多少元時(shí)一天的銷售利潤最大？

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由題意設(shè)出每天多賣出的件數(shù)k（x²+x），結(jié)合售價(jià)降低3元時(shí)，一天可多賣出36件求得k的值，然后寫出商品一天的銷售利潤函數(shù)；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值點(diǎn)，求得極值，比較端點(diǎn)值后得到利潤的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可設(shè)每天多賣出的件數(shù)為k（x²+x），
∴36=k（3²+3），
∴k=3．
又每件商品的利潤為（20-9-x）元，每天賣出的商品件數(shù)為69+3（x²+x）．
∴該商品一天的銷售利潤為
f（x）=（11-x）[69+3（x²+x）]=-3x³+30x²-36x+759（0≤x≤11）．
（Ⅱ）由f′（x）=-9x²+60x-36=-3（3x-2）（x-6）．
令f′（x）=0可得x=

2

3

或x=6．
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）、f（x）的變化情況如下表：

x	0	(0， 2 3 )	2 3	( 2 3 ，6)	6	（6，11）	11
f′（x）		-	0	+	0	-
f（x）	759	↘	極小值747 4 9	↗	極大值975	↘	0

∴當(dāng)商品售價(jià)為14元時(shí)，一天銷售利潤最大，最大值為975元

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)建模思想方法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，是中檔題．