Question

10．已知函數(shù)f（x）=ax²-2ax+b（a＞0）在區(qū)間[-1，4]上有最大值10和最小值1．設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$．
（1）求a、b的值；
（2）證明：函數(shù)g（x）在[$\sqrt$，+∞）上是增函數(shù)；
（3）若不等式g（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]上有解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱軸得到關(guān)于a的方程組，解出即可；
（2）先求出g（x）的表達(dá)式，根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性即可；
（3）問題轉(zhuǎn)化為1+2${（\frac{1}{{2}^{x}}）}^{2}$-2•$\frac{1}{{2}^{x}}$≥k，令t=$\frac{1}{{2}^{x}}$，則k≤2t²-2t+1，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性從而求出k的范圍即可．

解答 解：（1）f（x）=a（x-1）²-a+b，（a＞0），
因?yàn)閍＞0，故$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=1}\\{f（4）=10}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$．…（4分）
（2）由已知可得g（x）=x+$\frac{2}{x}$-2，設(shè)$\sqrt{2}$≤x₁＜x₂，
∵g（x₁）-g（x₂）=（x₁-x₂）（1-$\frac{2}{{{x}_{1}x}_{2}}$）=$\frac{{（x}_{1}{-x}_{2}）{{（x}_{1}x}_{2}-2）}{{{x}_{1}x}_{2}}$  …（7分）
∵$\sqrt{2}$≤x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，2＜x₁x₂，即x₁x₂-2＞0．
∴g（x₁）-g（x₂）＜0，即g（x₁）＜g（x₂）．
所以函數(shù)g（x）在[$\sqrt{2}$，+∞）上是增函數(shù)          …（10分）
（3）g（2^x）-k•2^x≥0可化為2^x+$\frac{2}{{2}^{x}}$-2≥k•2^x，
化為1+2${（\frac{1}{{2}^{x}}）}^{2}$-2•$\frac{1}{{2}^{x}}$≥k，
令t=$\frac{1}{{2}^{x}}$，則k≤2t²-2t+1，…（12分）
因x∈[-1，1]，故t∈[$\frac{1}{2}$，2]，
記h（t）=2t²-2t+1，因?yàn)閠∈[$\frac{1}{2}$，2]，故h（t）_min=1，
所以k的取值范圍是（-∞，1]．…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查考查函數(shù)的單調(diào)性問題，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．