【題目】已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),其中.

1)在區(qū)間上,是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

2)若函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為,證明:.

【答案】1)存在,最小值為;(2)證明見(jiàn)詳解

【解析】

1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),令,得兩根,從而得出的單調(diào)區(qū)間.由用作差法比較的大小,結(jié)合,可知,則在區(qū)間單調(diào)遞減,則其取得最小值;
2)由的韋達(dá)定理,得,則可消去a,得,.通過(guò)兩邊取對(duì)數(shù),得,將其代入需證不等式.再得,采用換元法,反證法,將所求不等式轉(zhuǎn)化為.再用換元法,令 構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)函數(shù)求其最值,則可證明不等式.

.

解:(1)由條件可函數(shù)上有意義,

,

,得,

因?yàn)?/span>,所以.

所以當(dāng)時(shí),,當(dāng),

所以上是增函數(shù),在是減函數(shù).

可知,

當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,

當(dāng)時(shí),,

因?yàn)?/span>,

所以

又函數(shù)在上是減函數(shù),且,

所以函數(shù)在區(qū)間上的有最小值,

其最小值為.

2)由(1)可知,當(dāng)時(shí)函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn),

是方程的兩根,

所以,且,

,

所以,

所以

,

,

由(1)可知,

設(shè),,則,

故要證成立,

只要證成立,

下面證明不等式成立,

構(gòu)造函數(shù),

,所以上單調(diào)遞增,

,即成立,

,即得不等式,

從而成立.

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