Question

某公司生產(chǎn)的某批產(chǎn)品的銷(xiāo)售量萬(wàn)件（生產(chǎn)量與銷(xiāo)售量相等）與促銷(xiāo)費(fèi)用萬(wàn)元滿足（其中為正常數(shù)）.已知生產(chǎn)該批產(chǎn)品還要投入成本萬(wàn)元（不包含促銷(xiāo)費(fèi)用），產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格定為元/件.

(1)將該產(chǎn)品的利潤(rùn)萬(wàn)元表示為促銷(xiāo)費(fèi)用萬(wàn)元的函數(shù)；

(2)當(dāng)促銷(xiāo)費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，該公司的利潤(rùn)最大？

Answer 1

(1) (2)當(dāng)時(shí)，促銷(xiāo)費(fèi)用投入2萬(wàn)元時(shí)，該公司的利潤(rùn)最大；

當(dāng)時(shí)，促銷(xiāo)費(fèi)用投入萬(wàn)元時(shí)，該公司的利潤(rùn)最大

【解析】

試題分析：(1)根據(jù)利潤(rùn)等于銷(xiāo)售額減去促銷(xiāo)費(fèi)用及投入成本，列出函數(shù)關(guān)系式： 再將代入化簡(jiǎn)得 (2)利用基本不等式求最值，要注意其等號(hào)取法，本題需結(jié)合定義域進(jìn)行討論：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào).當(dāng)時(shí)，促銷(xiāo)費(fèi)用投入2萬(wàn)元時(shí)，該公司的利潤(rùn)最大；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，促銷(xiāo)費(fèi)用投入萬(wàn)元時(shí)，該公司的利潤(rùn)最大

試題解析：(1)由題意得： 3分

將代入化簡(jiǎn)得

5分

(2)

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào) 8分

當(dāng)時(shí)，促銷(xiāo)費(fèi)用投入2萬(wàn)元時(shí)，該公司的利潤(rùn)最大 9分

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增 11分

所以時(shí)，函數(shù)有最大值，即促銷(xiāo)費(fèi)用投入萬(wàn)元時(shí)，該公司的利潤(rùn)最大 12分

綜上，當(dāng)時(shí)，促銷(xiāo)費(fèi)用投入2萬(wàn)元時(shí)，該公司的利潤(rùn)最大；

當(dāng)時(shí)，促銷(xiāo)費(fèi)用投入萬(wàn)元時(shí)，該公司的利潤(rùn)最大 14分

考點(diǎn)：函數(shù)實(shí)際應(yīng)用，利用基本不等式及導(dǎo)數(shù)求最值