Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點（2，0），且橢圓C的離心率為

1

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若動點P在直線x=-1上，過P作直線交橢圓C于M，N兩點，且P為線段MN中點，再過P：作直線l⊥MN．求直線l是否恒過定點，如果是則求出該定點的坐標，不是請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出a²=4，

c

a

=

1

2

，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)P（-1，y₀），y0∈(-

3

2

 ， 

3

2

)，當直線MN的斜率存在時，設(shè)直線MN的方程為y-y₀=k（x+1），由

3x2+4y2=12  y-y0=k(x+1)

，得(3+4k2)x2+(8ky0+8k2)x+(4

y

2 0

+8ky0+4k2-12)=0，由韋達定理結(jié)合已知條件推導(dǎo)出直線l恒過定點(-

1

4

 ， 0)；當直線MN的斜率不存在時，直線l也過點(-

1

4

 ， 0)．所以直線l恒過定點(-

1

4

 ， 0)．

解答： 解：（Ⅰ）因為點（2，0）在橢圓C上，
所以

4

a2

+

0

b2

=1，所以a²=4，（1分）
因為橢圓C的離心率為

1

2

，所以

c

a

=

1

2

，即

a2-b2

a2

=

1

4

，（2分）
解得b²=3，
所以橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．（4分）
（Ⅱ）設(shè)P（-1，y₀），y0∈(-

3

2

 ， 

3

2

)，
①當直線MN的斜率存在時，設(shè)直線MN的方程為y-y₀=k（x+1），
M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

3x2+4y2=12  y-y0=k(x+1)

，
得(3+4k2)x2+(8ky0+8k2)x+(4

y

2 0

+8ky0+4k2-12)=0，
所以x1+x2=-

8ky0+8k2

3+4k2

，
因為P為MN中點，所以

x1+x2

2

=-1，即-

8ky0+8k2

3+4k2

=-2．
所以kMN=

3

4y0

 (y0≠0)，（8分）
因為直線l⊥MN，所以kl=-

4y0

3

，
所以直線l的方程為y-y0=-

4y0

3

(x+1)，
即y=-

4y0

3

(x+

1

4

)，顯然直線l恒過定點(-

1

4

 ， 0)．（10分）
②當直線MN的斜率不存在時，直線MN的方程為x=-1，
此時直線l為x軸，也過點(-

1

4

 ， 0)．
綜上所述直線l恒過定點(-

1

4

 ， 0)．（12分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程是否恒過定點的判斷與求法，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．