Question

已知橢圓C的極坐標(biāo)方程為ρ²=

12

3cos2θ+4sin2θ

，點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂為其左右焦點(diǎn)．以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為

x=2+ 2 2 t y= 2 2 t

（t為參數(shù)，t∈R）．
（1）求直線l的普通方程和橢圓C的直角坐標(biāo)方程；
（2）求點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂到直線l的距離之和．

Answer 1

考點(diǎn)：直線的參數(shù)方程,簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程

專(zhuān)題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）把直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)，可得它的普通方程；把曲線的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程，化簡(jiǎn)可得結(jié)果．
（2）由（1）可得點(diǎn)F₁和F₂的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂到直線l的距離，可得結(jié)論．

解答： 解：（1）由直線l的參數(shù)方程為

x=2+ 2 2 t y= 2 2 t

（t為參數(shù)，t∈R），消去t，
可得 y=x-2，即直線l的普通方程為 x-y-2=0．
由橢圓C的極坐標(biāo)方程為ρ²=

12

3cos2θ+4sin2θ

，可得3ρ²cos²θ+4ρ²sin²θ=12，
化為直角坐標(biāo)方程為 3x²+4y²=12，即

x2

4

+

y2

3

=1．
故橢圓C的直角坐標(biāo)方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）由（1）可得點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
求點(diǎn)F₁到直線l的距離為

|-1-0-2|

2

=

3 2

2

，F(xiàn)₂到直線l的距離為

|1-0-2|

2

=

2

2

，
∴點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂到直線l的距離之和為

3 2

2

+

2

2

=2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查把參數(shù)方程、極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程的方法，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．