Question

如圖，O為總信號(hào)源點(diǎn)，A，B，C是三個(gè)居民區(qū)，已知A，B都在O的正東方向上，OA=10km，OB=20km，C在O的北偏西45°方向上，CO=5

2

km．
（1）求居民區(qū)A與C的距離；
（2）現(xiàn)要經(jīng)過點(diǎn)O鋪設(shè)一條總光纜直線EF（E在直線OA的上方），并從A，B，C分別鋪設(shè)三條最短分光纜連接到總光纜EF．假設(shè)鋪設(shè)每條分光纜的費(fèi)用與其長(zhǎng)度的平方成正比，比例系數(shù)為m（m為常數(shù)）．設(shè)∠AOE=θ（0≤θ＜π），鋪設(shè)三條分光纜的總費(fèi)用為w（元）．
①求w關(guān)于θ的函數(shù)表達(dá)式；
②求w的最小值及此時(shí)tanθ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,解三角形

分析：（1）以點(diǎn)O位坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸建立直角坐標(biāo)系，求出A，C的坐標(biāo)，即可求居民區(qū)A與C的距離；
（2）①分類討論，求出鋪設(shè)三條分光纜的總費(fèi)用，即可求w關(guān)于θ的函數(shù)表達(dá)式；
②換元，利用基本不等式，可求w的最小值及此時(shí)tanθ的值．

解答： 解：（1）以點(diǎn)O位坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸建立直角坐標(biāo)系，則A（10，0），B（20，0），C（-5，5），
∴AC=

(10+5)2+52

=5

10

；
（2）①當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：y=kx，k=tanθ，
則w=m[

(10k)2

k2+1

+

(20k)2

k2+1

+

(-5k-5)2

k2+1

]=m•

525k2+50k+25

k2+1

；
直線l的斜率不存在時(shí)，w=m（100+400+25）=525m，
綜上，w=

m• 525tan2θ+50tanθ+25 tan2θ+1 (0≤θ＜π，θ≠ π 2 ) 525m(θ= π 2 )

②直線l的斜率不存在時(shí)，w=m（100+400+25）=525m；
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，w=m•

525k2+50k+25

k2+1

令t=k-10，則t=0時(shí)，w=525m；
t≠0時(shí)，w=525m+m•

50

t+ 101 t +20

∵t+

101

t

≤-2

101

，或t+

101

t

≥2

101

，
∴w的最小值為525m+m•

50

20-2 101

=（275-25

101

）m，
此時(shí)，t=-

101

，tanθ=k=10-

101

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，考查函數(shù)模型的建立，屬于中檔題．