已知圓C:(x-1)2+(y-1)2=2經(jīng)過(guò)橢圓Γ:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F和上頂點(diǎn)B.
(Ⅰ)求橢圓Γ的方程;
(Ⅱ)過(guò)原點(diǎn)O的射線l與橢圓Γ在第一象限的交點(diǎn)為Q,與圓C的交點(diǎn)為P,M為OP的中點(diǎn),求
OM
OQ
的最大值.
考點(diǎn):直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題
分析:(Ⅰ)在圓(x-1)2+(y-1)2=2中,令y=0,得F(2,0),令x=0,得B(0,2),由此能求出橢圓方程.
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)Q(x0,y0),x0>0,y0>0,則
OM
OQ
=(
OC
+
CM
)•
OQ
=
OC
OQ
=x0+y0,又
x02
8
+
y02
4
=1
,設(shè)b=x0+y0,與
x02
8
+
y02
4
=1
聯(lián)立,得:3x02-4bx0+2b2-8=0,由此能求出
OM
OQ
的最大值.
解答: 解:(Ⅰ)在圓C:(x-1)2+(y-1)2=2中,
令y=0,得F(2,0),即c=2,
令x=0,得B(0,2),即b=2,
∴a2=b2+c2=8,
∴橢圓Γ的方程為:
x2
8
+
y2
4
=1

(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)Q(x0,y0),x0>0,y0>0,
OM
OQ
=(
OC
+
CM
)•
OQ

=
OC
OQ

=(1,1)•(x0,y0
=x0+y0,
x02
8
+
y02
4
=1

設(shè)b=x0+y0,與
x02
8
+
y02
4
=1
聯(lián)立,得:
3x02-4bx0+2b2-8=0,
令△≥0,得16b2-12(12b2-8)≥0,
解得-2
3
≤b≤2
3

又點(diǎn)Q(x0,y0)在第一象限,
∴當(dāng)x0=
4
3
3
時(shí),
OM
OQ
取最大值2
3
點(diǎn)評(píng):本題考查直線、圓、橢圓、平面向量、分式函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí),考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力,考查數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化及函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

定義一種新運(yùn)算:a?b=
b,a≥b
a,a<b
,已知函數(shù)f(x)=(1+
2
x
)?3log2(x+1),若方程f(x)-k=0恰有兩個(gè)不相等的實(shí)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為( 。
A、(-∞,3)
B、(1,3)
C、(-∞,-3)∪(1,3)
D、(-∞,-3)∪(0,3)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)是2,點(diǎn)E、F分別是兩條棱的中點(diǎn)
(1)證明:四邊形EFBD是一個(gè)梯形;
(2)求三棱臺(tái)CBD-C1FE的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

函數(shù)f(x)=(x-3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{log4an}是等差數(shù)列,log4a2=
3
2
,a1+a3=20

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{log4an}的前n項(xiàng)和.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,向量
m
=(1,2),
n
=(cos2A,cos2
A
2
),且
m
n
=1.
(1)求角A的大。
(2)若b+c=2a=2
3
,求證:△ABC為等邊三角形.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖P是△ABC所在平面外一點(diǎn),PA=PB,CB⊥平面PAB,M是PC的中點(diǎn),N是AB上的點(diǎn),AN=3NB.求證:MN⊥AB.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

點(diǎn)A(1,1)在圓C:x2+y2-x+y+m=0的外部.
(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍; 
(2)若m=-
1
4
,且過(guò)點(diǎn)A(1,1)的直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為
2
,求直線l的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,ABEDFC為多面體,平面ABED與平面ACFD垂直,點(diǎn)O在線段AD上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODF,△ODE都是正三角形.
(1)證明:直線BC∥平面EFD;
(2)求異面直線OC與EF所成的角的余弦值;
(3)求二面角C-EF-D的余弦值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案