Question

（1）設(shè)實(shí)數(shù)t＞0，求證：（1+

2

t

）ln（1+t）＞2
（2）從編號(hào)1到100的100張卡片中，每次隨機(jī)地抽取一張，然后放回，用這種方式連續(xù)抽20次，設(shè)抽得的20個(gè)號(hào)碼各不相同的概率為p，求證：ρ＜

1

e2

．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,概率與函數(shù)的綜合

專(zhuān)題：綜合題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）原問(wèn)題等價(jià)于證ln(1+t)＞

2t

2+t

=2-

4

2+t

，構(gòu)造函數(shù)f(x)=ln(1+x)+

4

x+2

-2(x＞0)，只須證明f（x）在[0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)即可．先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減即可得到答案．
（2）由已知條件得p=

100×99×98×…×81

10020

，即證明99×98×…×81＜（90）¹⁹，證明19ln

10

9

＞2，即(

10

9

)19＞e2而這個(gè)結(jié)論由（1）所得結(jié)論可得．

解答： 證明：（1）已知實(shí)數(shù)t＞0，原問(wèn)題等價(jià)于證ln(1+t)＞

2t

2+t

=2-

4

2+t

構(gòu)造函數(shù)f(x)=ln(1+x)+

4

x+2

-2(x＞0)，
f′(x)=

1

1+x

-

4

(x+2)2

=

x2

(1+x)(x+2)2

≥0，
已知x＞0，且f（0）=0，
故f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
于是f（x）＞0（x＞0），即原命題成立；5-6分
（2）由已知條件得p=

100×99×98×…×81

10020

，
注意到99×81＜90²，98×82＜90²，…，91×89＜90²，
于是p＜

902×902×902×…×902×90

1038

=(

9

10

)19
在（1）的結(jié)論中令t=

1

9

，得19ln

10

9

＞2，即(

10

9

)19＞e2
即p＜(

9

10

)19＜

1

e2

，即p＜

1

e2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系等，考查運(yùn)算求解能力，函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式證明及等可能事件的概率等知識(shí)．通過(guò)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決函數(shù)、不等式問(wèn)題，考查了考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力．