Question

【題目】設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，直線與交于，兩點(diǎn)，的面積為.

（1）求的方程；

（2）若，是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，試問：是否存在定點(diǎn)，使得？若存在，求的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）見解析.

【解析】

（1）把代入拋物線方程可得：，解得．根據(jù)的面積為列方程，解得，問題得解．

（2）假設(shè)存在定點(diǎn)S，使得．設(shè)，線段的中點(diǎn)為．由，可得，化為：．當(dāng)軸時(shí)滿足題意，因此點(diǎn)S必然在x軸上．設(shè)直線的方程為：．與拋物線方程聯(lián)立可得：．根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得．可得線段的垂直平分線方程，問題得解．

解：（1）把代入拋物線方程，可得：，解得．

∵的面積為．

∴，解得．

∴E的方程為：．

（2）假設(shè)存在定點(diǎn)S，使得．

設(shè)，線段的中點(diǎn)為．

由拋物線定義可得：，

∵，

∴，整理得：．∴．

當(dāng)軸時(shí)滿足題意，因此點(diǎn)S必然在x軸上．

設(shè)直線的方程為：．

聯(lián)立，化為：．

∴，

∴．

線段的垂直平分線方程為：，

令，可得：．

∴存在定點(diǎn)，使得．