Question

已知實數(shù)x，y滿足

x≥1 y≥1 x+y≤5

時，z=

x

a

+

y

b

 （a≥b＞0）的最大值為1，則a+b的最小值為（　　）

• A、7
• B、8
• C、9
• D、10

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的最大值，確定最優(yōu)解，然后利用基本不等式進行判斷．

解答： 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由z=

x

a

+

y

b

 （a≥b＞0）得y=-

b

a

x+bz，
則斜率k=-

b

a

∈[-1，0)，
則由圖象可知當(dāng)直線y=-

b

a

x+bz經(jīng)過點B（1，4）時，
直線y=-

b

a

x+bz的截距最大，
此時

1

a

+

4

b

=1，
則a+b=（a+b）（

1

a

+

4

b

）=1+4+

b

a

+

4a

b

≥5+2

b a • 4a b

=5+4=9，
當(dāng)且僅當(dāng)

b

a

=

4a

b

，即b=2a取等號此時不成立，故基本不等式不成立．
設(shè)t=

b

a

，
∵a≥b＞0，
∴0＜

b

a

≤1，即0＜t≤1，
則1+4+

b

a

+

4a

b

=5+t+

4

t

在（0，1]上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)t=1時，
1+4+

b

a

+

4a

b

=5+t+

4

t

取得最小值為
5+1+4=10．
即a+b的最小值為10，
故選：D．

點評：本題主要考查線性規(guī)劃和基本不等式的應(yīng)用，先利用條件確定最優(yōu)解是解決本題的關(guān)鍵，本題使用基本不等式時，條件不成立，利用t+

4

t

的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強，難度較大．