Question

設函數(shù)f（x）=lnx-

a

x

，g（x）=e^x（ax+1），其中a為實數(shù)．
（1）若f（x）在（1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，且g（x）在（-∞，1）上有最大值，求a的取值范圍；
（2）若g（x）在（1，2）上不是單調(diào)函數(shù)，試求f（x）的零點個數(shù)，并證明你的結論．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)y=f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，則f'（x）≥0恒成立，即可求a的取值范圍；
（Ⅱ）若g（x）在區(qū)間（1，2）上不是單調(diào)函數(shù)時，則等價于g'（x）=0在（1，2）上有解，然后求出函數(shù)的最值，即可判斷函數(shù)零點的個數(shù)．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，
∴f'（x）=

1

x

+

a

x2

在（1，+∞）上恒成立，∴a≥-x，
∵-x＜-1，∴a≥-1，
∵g（x）=e^x（ax+1），∴g′（x）=e^x（ax+a+1），
①-1≤a＜0時，在（-∞，-1-

1

a

）上，g′（x）＞0，在（-1-

1

a

，+∞）上f′（x）＜0，
∴f（x）_max=f（-1-

1

a

），而-1-

1

a

在（-∞，1）上，符合題意，
②a=0時，g′（x）＞0，沒有最大值，
③a＞0時，在（-∞，-1-

1

a

）上，g′x）＜0，在（-1-

1

a

，+∞）上，g′（x）＞0，
∴f（x）有最小值，不合題意，
綜上，-1≤a＜0；
（Ⅱ）∵g（x）在區(qū)間（1，2）上不是單調(diào)函數(shù)時，
∴g'（x）=e^x（ax+a+1）=0在（1，2）上有解，
∴a≠0且1＜-

a+1

a

＜2，
∴-

1

2

＜a＜-

1

3

，
由f（x）=lnx-

a

x

=0得a=xlnx，
令h（x）=xlnx，則h'（x）=1+lnx，
由h'（x）=0，得x=

1

e

，
在（0，

1

e

）上，h'（x）＜0，此時h（x）是減函數(shù)，
在（

1

e

，+∞）上，h'（x）＞0，此時h（x）是增函數(shù)，
∴當x=

1

e

時，h（x）取得極小值，也是最小值為h（

1

e

）=-

1

e

，
又0＜x＜1時，h（x）＜0，
x≥1時，h（x）≥0，
∴當-

1

2

＜a＜-

1

e

時，f（x）的零點個數(shù)為0，
當a=-

1

e

時，f（x）的零點個數(shù)為1，
當-

1

e

＜a＜-

1

3

時，f（x）的零點個數(shù)為2．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關系，考查學生的計算能力．要求熟練掌握函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值和導數(shù)之間的關系．