Question

已知x0，x0+

π

4

是函數(shù)f(x)=cos2(ωx-

π

6

)-sin2ωx(ω＞0)的相鄰的零點(diǎn)．
（1）求f(

π

12

)的值；
（2）若對任意的x∈[-

π

6

，

π

8

]，都有|f（x）-m|≤1，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)恒成立問題

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值

分析：（1）利用二倍角公式以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)的表達(dá)式為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，利用函數(shù)的零點(diǎn)求出函數(shù)的周期，即可求出ω，然后求解f(

π

12

)的值．
（2）轉(zhuǎn)化絕對值不等式推出m的最值與f（x）的最值的關(guān)系，通過x的范圍求出相位的范圍利用正弦函數(shù)的最值求解即可．

解答： 解：（1）f(x)=

1+cos(2ωx- π 3 )

2

-

1-cos2ωx

2

=

3

2

sin(2ωx+

π

3

)．
由x0，x0+

π

4

是函數(shù)f(x)=cos2(ωx-

π

6

)-sin2ωx(ω＞0)的相鄰的零點(diǎn)，
∴T=

π

2

，∴ω=2，
∴f(x)=

3

2

sin(4x+

π

3

)，
∴f(

π

12

)=

3

4

…（6分）
（2）|f（x）-m|≤1?f（x）-1≤m≤f（x）+1，
∴

m≥f(x)max-1 m≤f(x)min+1

∵x∈[-

π

6

，

π

8

]
∴-

π

3

≤4x+

π

3

≤

5π

6

∴-

3

4

≤f(x)≤

3

2

∴m∈[

3

2

-1，

1

4

]…（12分）

點(diǎn)評：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，二倍角公式的應(yīng)用，函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)恒成立問題的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．