Question

已知數列{b_n}滿足b₁=1，且b_n=2b_n-1+3，
（Ⅰ）證明數列{b_n+3}是等比數列并求數列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數列{a_n}是首項a₁=1，公差d=2的等差數列，若cn=

an

bn+3

，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等比關系的確定

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由b_n=2b_n-1+3變形為b_n+3=2（b_n-1+3），即可證明，再利用等比數列的通項公式即可得出．
（II）利用等差數列的通項公式可得a_n，再利用“錯位相減法”即可得出T_n．

解答： 解：（Ⅰ）由b_n=2b_n-1+3得b_n+3=2（b_n-1+3），
∴數列{b_n+3}是以2為公比的等比數列，
∴bn+3=(b1+3)2n-1=(a1+3)2n-1=2n+1，
∴bn=2n+1-3，
（Ⅱ）由已知的a_n=2n-1．
∴cn=

an

bn+3

=

2n-1

2n+1

∴Tn=

1

22

+

3

23

+

5

24

+…+

2n-1

2n+1

①
兩邊同乘以

1

2

得

1

2

Tn=

1

23

+

3

24

+

5

25

+…+

2n-1

2n+2

②
①-②得

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+

2

24

+

2

25

+…+

2

2n+1

-

2n-1

2n+2

，
∴T_n=

1

2

+(1-

1

2n-1

)-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

2n+3

2n+1

．

點評：本題考查了等比數列的通項公式及其前n項和公式、等差數列的通項公式、“錯位相減法”，屬于中檔題．