Question

已知拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點為F（0，1）．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）如圖，過F作兩條互相垂直的直線l₁與l₂，分別交拋物線C于A、B與D、E，設AB、DE的中點分別為M、N，求△FMN面積S的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題

分析：（Ⅰ）根據拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點為F（0，1），求出p，即可求出求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設出AB：y=kx+1，與拋物線方程聯立，求出M的坐標，同理可得N的坐標，求出MN的斜率，可得MN的方程，從而可得直線MN過定點Q（0，3），表示出△FMN面積，利用基本不等式，即可求出△FMN面積S的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點為F（0，1），
∴

p

2

=1，∴拋物線C的方程：x²=4y．
（Ⅱ）顯然AB，DE的斜率都存在且不為零．
設AB：y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx+1 x2=4y

得，x²-4kx-4=0，
∴xM=

x1+x2

2

=2k， yM=kxM+1=2k2+1．
同理xN=-

2

k

， yN=-

1

k

xN+1=

2

k2

+1．
即M（2k，2k²+1），N(-

2

k

， 

2

k2

+1)，
∴kMN=

2k2+1- 2 k2 -1

2k+ 2 k

=k-

1

k

．
∴MN：y-2k2-1=(k-

1

k

)(x-2k)，即y=(k-

1

k

)x+3，
∴直線MN過定點Q（0，3）．
∴S=

1

2

|QF||xM-xN|=

1

2

×2×|2k+

2

k

|=2(|k|+

1

|k|

)≥4，
當|k|=

1

|k|

，即k=±1時，S_min=4．

點評：本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查三角形面積的計算，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．