Question

設函數(shù)f（x）=ae^x（x+1）（其中e=2.71828…），g（x）=x²+bx+2，已知它們在x=0處有相同的切線．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x），g（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[t，t+1]（t＞-3）上的最小值；
（Ⅲ）判斷函數(shù)F（x）=2f（x）-g（x）+2零點個數(shù)．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求導函數(shù)，利用兩函數(shù)在x=0處有相同的切線，可得2a=b，f（0）=a=g（0）=2，即可求函數(shù)f（x），g（x）的解析式；
（Ⅱ）求導函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，再分類討論，即可求出函數(shù)f（x）在[t，t+1]（t＞-3）上的最小值；
（Ⅲ）F（x）=4e^x（x+1）-x²-4x，求導，確定F（x）在（-∞，-2），（-ln2，+∞）上單調(diào)遞增，在（-2，-ln2）上單調(diào)遞減，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ） f'（x）=ae^x（x+2），g'（x）=2x+b----------------------（1分）
由題意，兩函數(shù)在x=0處有相同的切線．
∴f'（0）=2a，g'（0）=b，
∴2a=b，f（0）=a=g（0）=2，
∴a=2，b=4，
∴f（x）=2e^x（x+1），g（x）=x²+4x+2．----------------------（3分）
（Ⅱ）f'（x）=2e^x（x+2），由f'（x）＞0得x＞-2，由f'（x）＜0得x＜-2，
∴f（x）在（-2，+∞）單調(diào)遞增，在（-∞，-2）單調(diào)遞減．----------------------（4分）
∵t＞-3，∴t+1＞-2
①當-3＜t＜-2時，f（x）在[t，-2]單調(diào)遞減，[-2，t+1]單調(diào)遞增，
∴f(x)min=f(-2)=-2e-2．----------------------（5分）
②當t≥-2時，f（x）在[t，t+1]單調(diào)遞增，∴f(x)min=f(t)=2et(t+1)；
∴f(x)=

-2e-2_

&2et(t+1)  (t≥-2)----------------------（6分）
（Ⅲ）由題意F（x）=4e^x（x+1）-x²-4x
求導得F'（x）=4e^x（x+1）+4e^x-2x-4=2（x+2）（2e^x-1），----------------------（8分）
由F'（x）＞0得x＞-ln2或x＜-2，由F'（x）＜0得-2＜x＜-ln2
∴F（x）在（-∞，-2），（-ln2，+∞）上單調(diào)遞增，在（-2，-ln2）上單調(diào)遞減----------（10分）
∴F(x)極小值=F(-ln2)=2+2ln2-(ln2)2=2+ln2(2-ln2)＞0----------------------（11分）
∵F（-4）=4e^-4×（-4+1）-16+16=-12e^-4＜0----------------------（12分）
故函數(shù)F（x）=2f（x）-g（x）+2只有一個零點．----------------------（13分）

點評：本題考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的零點，考查分類討論的數(shù)學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．