Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-（1+a）x+

1

2

x²，a∈R
（Ⅰ）當(dāng)0＜a＜1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[

1

e

，+∞）時f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)0＜a＜1時，確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，從而可求極值；
（Ⅱ）分類討論，a＞0時，f（1）＜0，此時f（x）≥0對x∈[

1

e

，+∞）內(nèi)的任意x不是恒成立的；當(dāng)a≤0時，易得函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

e

，+∞）的極小值、也是最小值，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=

(x-1)(x-a)

x

，
當(dāng)0＜a＜1時，由f′（x）＞0可得0＜x＜a或x＞1；由f′（x）＜0可得a＜x＜1，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，a），（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（a，1），
∴x=a時，取得極大值alnz-（1+a）a+

1

2

a²，x=1時，取得極小值-

1

2

-a；
（Ⅱ）∵f（1）=-

1

2

-a，
∴顯然a＞0時，f（1）＜0，此時f（x）≥0對x∈[

1

e

，+∞）內(nèi)的任意x不是恒成立的；
當(dāng)a≤0時，得函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

e

，+∞）的極小值、也是最小值即是f（1）=-

1

2

-a，
此時只要f（1）≥0即可，解得a≤-

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．