Question

設(shè)有函數(shù)f(x)=asin(kx+

π

3

)和φ(x)=btan(kx-

π

3

)，k＞0，若它們的最小正周期的和為

3π

2

，且f(

π

2

)=ϕ(

π

2

)，f(

π

4

)=-

3

ϕ(

π

4

)+1，求f（x）和ϕ（x）的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的周期性及其求法,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值

分析：利用f（x）的最小正周期

2π

k

與ϕ（x）的最小正周期

π

k

的和為

3π

2

，可求得k=2，再由

f( π 2 )=ϕ( π 2 ) f( π 4 )=- 3 ϕ( π 4 )+1

求得a，b即可．

解答： 解：f（x）的最小正周期為

2π

k

，ϕ（x）的最小正周期為

π

k

，
依題意知：

2π

k

+

π

k

=

3π

2

，解得k=2，
∴f（x）=asin（2x+

π

3

），φ（x）=btan（2x-

π

3

），
∵

f( π 2 )=ϕ( π 2 ) f( π 4 )=- 3 ϕ( π 4 )+1

，
∴

asin 4 3 π=btan 2π 3 asin 5π 6 =- 3 btan π 6 +1

，
即

- 3 2 a=- 3 b a 2 =-b+1

，
解得：

a=1 b= 1 2

，
∴f（x）=sin（2x+

π

3

），φ（x）=

1

2

tan（2x-

π

3

）．

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的周期性及其求法，考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，著重考查解方程的能力，屬于中檔題．