Question

1．已知公差不為零的等差數(shù)列{a_n}各項為正數(shù)，前n項和為S_n，2S₂=a₂〔a₂+1〕，a₁，a₂，a₄為等比數(shù)列．
（1）求通項公式a_n；
（2）設b_n=2S_n+$\frac{3}{{a}_{n}}$，求b_n的通項公式．

Answer 1

分析 （1）由題意設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，d≠0，由題意可得a₂和d的方程組，解方程組可得a₂和d，進而可得a₁，可得通項公式；
（2）由等差數(shù)列的求和公式代入可得b_n的通項公式．

解答 解：（1）由題意設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，d≠0，
∵2S₂=a₂〔a₂+1〕，a₁，a₂，a₄為等比數(shù)列，
∴2（2a₂-d）=a₂〔a₂+1〕，a₂²=（a₂-d）（a₂+2d），
兩式聯(lián)立解得a₂=2，d=1，∴a₁=a₂-d=1，
∴通項公式a_n=a₁+（n-1）d=n；
（2）由（1）可得b_n=2S_n+$\frac{3}{{a}_{n}}$=2•$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{3}{n}$=n²+n+$\frac{3}{n}$

點評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列，求出數(shù)列的首項和公差是解決問題的關鍵，屬基礎題．