Question

設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的焦點(diǎn)，若在雙曲線上存在點(diǎn)P，滿足∠F₁PF₂=60°，|OP|=

7

a，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A、

  3

• B、

  2

• C、

  6

  2

• D、

  6

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：假設(shè)|F₁P|=x，分別根據(jù)中線定理和余弦定理建立等式求得c²+5a²=14a²-2c²，可得a和c的關(guān)系，即可求雙曲線的離心率．

解答： 解：不妨設(shè)P在左支上，|F₁P|=x，則|F₂P|=2a+x．
∵OP為三角形F₁F₂P的中線，∴根據(jù)三角形中線定理可知x²+（2a+x）²=2（c²+7a²），
整理得x（x+2a）=c²+5a²．
由余弦定理可知x²+（2a+x）²-x（2a+x）=4c²，
整理得x（x+2a）=14a²-2c²，
進(jìn)而可知c²+5a²=14a²-2c²，
∴3a²=c²，
∴e=

c

a

=

3

．
故選：A．

點(diǎn)評：本題考查了雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，考查余弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．