Question

若正數(shù)a，b，c滿足a+b+c=1．
（1）求證：

1

3

≤a²+b²+c²＜1；
（2）求

1

2a+1

+

1

2b+1

+

1

2c+1

的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明

專題：選作題,不等式

分析：（1）利用條件，兩邊平方，利用基本不等式，即可證得結(jié)論；
（2）由柯西不等式可得

1

2a+1

+

1

2b+1

+

1

2c+1

=

1

5

（

1

2a+1

+

1

2b+1

+

1

2c+1

）（2a+1+2b+1+2c+1）≥（1+1+1）²=9，即可求

1

2a+1

+

1

2b+1

+

1

2c+1

的最小值

解答： （1）證明：∵a+b+c=1，
∴1=（a+b+c）²=a²+b²+c²+2（ab+bc+ac）≤3（a²+b²+c²），
∴a²+b²+c²≥

1

3

．
∵a-a²=a（1-a），0＜a＜1，∴a＞a²，
同理b＞b²，c＞c²，
∴a²+b²+c²＜a+b+c=1，
∴

1

3

≤a²+b²+c²＜1；
（2）解：由柯西不等式可得

1

2a+1

+

1

2b+1

+

1

2c+1

=

1

5

（

1

2a+1

+

1

2b+1

+

1

2c+1

）（2a+1+2b+1+2c+1）≥（1+1+1）²=9（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)），
∴

1

2a+1

+

1

2b+1

+

1

2c+1

的最小值為

9

5

，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=

1

3

時(shí)取到．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，考查基本不等式的運(yùn)用，考查柯西不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．