Question

如圖，F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）分別是雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）的左，右焦點，過點F₂作x軸的垂線交雙曲線的上半部分于點P，過點F₁作直線PF₁的垂線交直線l：x=-

a2

c

于點Q．
（1）若點P的坐標為（4，6），求雙曲線C的方程及點P處的切線方程；
（2）證明：直線PQ與雙曲線C只有一個交點；
（3）若過l：x=-

a2

c

上任一點M作雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）的兩條切線，切點分別為T₁，T₂，問：直線T₁T₂是否過定點，若過定點，請求出該定點；否則，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：壓軸題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)點P的坐標為（4，6），建立方程組，求出a，b，即可求得雙曲線C的方程；求導數(shù)可得切線斜率，進而可求點P處的切線方程；
（2）求出QF₁的斜率為-

4

3

，方程為y=-

4

3

（x+4），可得Q的坐標，從而可得直線PQ的斜率為

6+4

4+1

=2，即PQ為點P處的切線，即可證明直線PQ與雙曲線C只有一個交點；
（3）求出MT₁：y-y₁=

3x1

3x12-12

（x-x₁）；MT₂：y-y₂=

3x2

3x22-12

（x-x₂），代入M（-1，t），從而可得T₁（x₁，y₁），T₂（x₂，y₂）都滿足方程t-y=

3x

3x2-12

（-1-x），即可得出結(jié)論．

解答： （1）解：由題意，

a2+b2=42 16 a2 - 36 b2 =1

，
∴a²=4，b²=12
∴雙曲線C的方程為

x2

4

-

y2

12

=1；
由

x2

4

-

y2

12

=1，可得y=

3x2-12

，∴y′=

3x

3x2-12

，
∴x=4時，y′=2，
∴點P處的切線方程為y-6=2（x-4），即2x-y-2=0；
（2）證明：直線PF₁的斜率為

6-0

4+4

=

3

4

，
∴QF₁的斜率為-

4

3

，方程為y=-

4

3

（x+4），
∵準線l：x=-

a2

c

=-

4

4

=-1，代入y=-

4

3

（x+4），可得Q（-1，-4），
∴直線PQ的斜率為

6+4

4+1

=2，即PQ為點P處的切線，
∴直線PQ與雙曲線C只有一個交點；
（3）解：雙曲線C的方程為

x2

4

-

y2

12

=1，左準線方程為x=-1，
設M（-1，t），T₁（x₁，y₁），T₂（x₂，y₂）．
則MT₁：y-y₁=

3x1

3x12-12

（x-x₁）；MT₂：y-y₂=

3x2

3x22-12

（x-x₂），
代入M（-1，t），可得t-y₁=

3x1

3x12-12

（-1-x₁）；MT₂：t-y₂=

3x2

3x22-12

（-1-x₂），
∴T₁（x₁，y₁），T₂（x₂，y₂）都滿足方程t-y=

3x

3x2-12

（-1-x）．
顯然t的變化，不能使方程經(jīng)過同一點．

點評：本題考查雙曲線的標準方程，考查直線方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查學生分析解決問題的能力，屬于難題．