如圖，F(xiàn)是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一個焦點，A，B是橢圓的兩個頂點，橢圓的離心率為
1
2
．點C在x軸上，BC⊥BF，B，C，F(xiàn)三點確定的圓M恰好與直線l1：x+
3
y+3=0相切．
（Ⅰ）求橢圓的方程：
（Ⅱ）過點A的直線l2與圓M交于PQ兩點，且 
MP
•
MQ
=-2，求直線l2的方程．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（Ⅰ）由已知條件求出B（0，
3
c），C（3c，0），F(xiàn)（-c，0），由此求出圓M的方程為（x-c）2+y2=4c2，再由圓M與直線l1：x+
3
y+3=0相切，解得c=1，a=2，b=
3
，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）設直線l2的方程為y=k（x+2），由已知條件求出∠PMQ=120°，從而求出k=±
2
4
，由此能求出直線l2的方程．
解答： 解：（Ⅰ）∵F是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一個焦點，A，B是橢圓的兩個頂點，
橢圓的離心率為
1
2
，
∴
c
a
=
1
2
，∴
c2
a2
=1-
b2
a2
=
1
4
，∴b=
3
2
a，c=
1
2
a，
設F（-c，0），B（0，
3
2
a）=（0，
3
c），
∵kBF=
b
c
=
3
，BC⊥BF，
∴kBC=-
3
3
，∴
b
xC
=
3
3
，∴xC=
3
b=
3
2
a•
3
=
3
2
a=3c，
∴C（3c，0），
設圓M的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，
把B（0，
3
c），C（3c，0），F(xiàn)（-c，0）代入，得：
3c2+
3
cE+F=0
9c2+3cD+F=0
c2-cD+F=0
，
解得D=-2c，E=0，F(xiàn)=-3c2，
∴圓M的方程為（x-c）2+y2=4c2，
∵圓M與直線l1：x+
3
y+3=0相切，
∴
|1×c+
3
×0+3|
1+3
=2c，解得c=1，
∴a=2，b=
3
，
∴所求的橢圓方程為
x2
4
+
y2
3
=1．
（Ⅱ）∵A是橢圓方程為
x2
4
+
y2
3
=1的左頂點，∴A（-2，0），
∵圓M的方程為（x-1）2+y2=4，
∴過點A斜率不存在的直線與圓不相交，
∴設直線l2的方程為y=k（x+2），
∵
MP
•
MQ
=-2，又|
MP
|=|
MQ
|=2，
∴cos＜
MP
，
MQ
＞=
MP
•
MQ
|
MP
|•|
MQ
|
=-
1
2
，
∴∠PMQ=120°，
圓心M到直線l2的距離d=
1
2
r=1，
∴
|k+2k|
k2+1
=1，解得k=±
2
4
，
∴直線l2的方程為y=±
2
4
（x+2）．
點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，綜合性強，難度大，解題時要注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知O為坐標原點，點M的坐標為（1，-1），點N（x，y）的坐標x，y滿足
x+2y-3≤0
x+3y-3≥0
y≤1
，則
OM
•
ON
＜0的概率為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在區(qū)間[-2，3]上任取一個數(shù)a，則函數(shù)f（x）=x2-2ax+a+2有零點的概率為（　�。�
A、
1
3
B、
1
2
C、
3
5
D、
2
5

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2+lnx（a∈R）
（Ⅰ）當a=2時，求f（x）在區(qū)間[e，e2]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）如果函數(shù)g（x），f1（x），f2（x）在公共定義域D上，滿足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就稱g（x）為f1（x），f2（x）的“伴隨函數(shù)”．已知函數(shù)f1(x)=(a-
1
2
)x2+2ax+(1-a2)lnx，f2(x)=
1
2
x2+2ax．若在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）是f1（x），f2（x）的“伴隨函數(shù)”，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），經(jīng)過點P（
3
，
1
2
），離心率e=
3
2
．
（1）求橢圓C的標準方程．
（2）過點Q（0，
1
2
）的直線與橢圓交于A、B兩點，與直線y=2交于點M（直線AB不經(jīng)過P點），記PA、PB、PM的斜率分別為k1、k2、k3，問：是否存在常數(shù)λ，使得
1
k1
+
1
k2
=
λ
k3
？若存在，求出λ的值：若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
1
2
，其左焦點到點P（2，1）的距離為
10
．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點（A，B不是左右頂點），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點．求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，F(xiàn)1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）分別是雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a，b＞0）的左，右焦點，過點F2作x軸的垂線交雙曲線的上半部分于點P，過點F1作直線PF1的垂線交直線l：x=-
a2
c
于點Q．
（1）若點P的坐標為（4，6），求雙曲線C的方程及點P處的切線方程；
（2）證明：直線PQ與雙曲線C只有一個交點；
（3）若過l：x=-
a2
c
上任一點M作雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a，b＞0）的兩條切線，切點分別為T1，T2，問：直線T1T2是否過定點，若過定點，請求出該定點；否則，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知F1、F2是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點，且離心率e=
1
2
，若點P為橢圓C上的一個動點，且|PF1|•|PF2|的最大值為4．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）過右焦點F2作斜率為k的直線l與橢圓C交于M、N兩點，在x軸上是否存在點P（m，0），使得以PM、PN為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出m的取值范圍；如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=
2
3x+1
+sinx，則f（-5）+f（-4）+f（-3）+f（-2）+f（-1）+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=
 
．

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