Question

在如圖所示的幾何體中，面CDEF為正方形，面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AC=

3

，AB=2BC=2，AC⊥FB．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面FBC；
（Ⅱ）線段AC上是否存在點(diǎn)M，使EA∥平面FDM？證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）利用勾股定理的逆定理即可得到AC⊥CB，又AC⊥FB，利用線面垂直的判定定理即可證明；
（Ⅱ）線段AC上存在點(diǎn)M，且M為AC中點(diǎn)時(shí)，有EA∥平面FDM．利用正方形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、線面平行的判定定理即可證明．

解答： 證明：（Ⅰ）在△ABC中，
∵AC=

3

，AB=2，BC=1，∴AC²+BC²=AB²．
∴AC⊥BC．
又∵AC⊥FB，BF∩CB=B，
∴AC⊥平面FBC．
（Ⅱ）線段AC上存在點(diǎn)M，且M為AC中點(diǎn)時(shí)，有EA∥平面FDM，證明如下：
連接CE與DF交于點(diǎn)N，連接MN．
由 CDEF為正方形，得N為CE中點(diǎn)．
∴EA∥MN．
∵M(jìn)N?平面FDM，EA?平面FDM，
∴EA∥平面FDM．
所以線段AC上存在點(diǎn)M，使得EA∥平面FDM成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，熟練掌握勾股定理的逆定理、正方形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、線面平行的判定定理是解題的關(guān)鍵．