Question

某食品廠為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況，從該流水線上隨機(jī)抽取40件產(chǎn)品作為樣本，測(cè)得它們的重量（單位：克），將重量按如下區(qū)間分組：（490，495]，（495，500]，（500，505]，（505，510]，（510，515]，得到樣本的頻率分布直方圖（如圖所示）．若規(guī)定重量超過495克但不超過510克的產(chǎn)品為合格產(chǎn)品，且視頻率為概率，回答下列問題：
（Ⅰ）在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)X為合格產(chǎn)品的數(shù)量，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX；
（Ⅱ）若從流水線上任取3件產(chǎn)品，求恰有2件合格產(chǎn)品的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：古典概型及其概率計(jì)算公式,頻率分布直方圖,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由題意知，合格產(chǎn)品的頻率為0.04×5+0.07×5+0.05×5=0.8，得到合格產(chǎn)品的數(shù)量為40×0.8=32．X的所有可能取值為0，1，2，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件寫出概率和分布列，得到期望值；
（Ⅱ）從流水線上任取1件產(chǎn)品，合格的概率為0.8，而恰有2件產(chǎn)品合格，則有兩件合格，有一件不合格，利用組合數(shù)計(jì)算出概率即可．

解答： 解：（Ⅰ）由樣本的頻率分布直方圖得，合格產(chǎn)品的頻率為0.04×5+0.07×5+0.05×5=0.8．     
所以抽取的40件產(chǎn)品中，合格產(chǎn)品的數(shù)量為40×0.8=32．
則X可能的取值為0，1，2
所以P(X=0)=

C 2 8

C 2 40

=

7

195

，P(X=1)=

C 1 8 C 1 32

C 2 40

=

64

195

，P(X=2)=

C 2 32

C 2 40

=

124

195

，
因此X的分布列為

X	0	1	2
P	7 195	64 195	124 195

故X數(shù)學(xué)期望EX=0×

7

195

+1×

64

195

+2×

124

195

=

312

195

=

8

5

．     
（Ⅱ）因?yàn)閺牧魉�線上任取1件產(chǎn)品合格的概率為0.8=

4

5

所以從流水線上任取3件產(chǎn)品，恰有2件合格產(chǎn)品的概率為P=

C

2 3

(

1

5

)(

4

5

)2=

48

125

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查頻率分步直方圖和離散型隨機(jī)變量的分布列和期望以及組合及組合數(shù)公式的應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是寫出每一個(gè)范圍里的頻數(shù)，才能利用它來求概率．