Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面四邊形ABCD為矩形，PA=PD，AD=

2

AB=2，且平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求證：PC⊥BD；
（Ⅱ）若PB=BC，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）取O為AD的中點，連接CO，PO，證明BD⊥OC，PO⊥BD，即可證明BD⊥平面POC，從而可得PC⊥BD；
（Ⅱ）若PB=BC，求出OP，即可求四棱錐P-ABCD的體積．

解答： （Ⅰ）證明：取O為AD的中點，連接CO，PO，如圖．
則在矩形ABCD中，有

CD

DO

=

AD

AB

=

2

，可得Rt△CDO∽Rt△DAB，
則∠OCD=∠BDA，故∠OCD+∠CDB=90°，
故BD⊥OC，…（3分）
由PA=PD，O為AD中點，可得PO⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD．
則PO⊥平面ABCD，則PO⊥BD．
又OC?平面POC，PO?平面POC，則有BD⊥平面POC，
又PC?平面POC，故PC⊥BD．…（6分）
（Ⅱ）解：在矩形ABCD中，連接BO，則OB=OC=

OD2+CD2

=

12+( 2 )2

=

3

，
又PB=BC=2，則OP=

PB2-OB2

=

22-( 3 )2

=1，
則四棱錐P-ABCD的體積VP-ABCD=

1

3

S矩形ABCD•OP=

1

3

×2×

2

×1=

2 2

3

．…（12分）

點評：本題考查了線面垂直的判定定理、面面垂直的判斷定理和性質定理的綜合應用，以及四棱錐的體積公式的應用．