Question

已知函數(shù)f(x)=ax-

b

x+1

(a，b∈N*)，f(1)=

1

2

且f（2）＜2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）判斷并證明函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-1，+∞）上的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由 f(1)=a-

b

2

=

1

2

，a=

b+1

2

，f(2)=2a-

b

3

＜2，從而求出b=1，a=1；
（Ⅱ）由（1）得f(x)=x-

1

x+1

，得函數(shù)在（-1，+∞）單調(diào)遞增．從而有f（x₁ ）-f（x₂ ）=(x1-x2)+

x1-x2

(x1+1)(x2+1)

=(x1-x2)[1+

1

(x1+1)(x2+1)

]，進(jìn)而(x1-x2)[1+

1

(x1+1)(x2+1)

]＜0，故函數(shù)f(x)=x-

1

x+1

在（-1，+∞）上單調(diào)遞增．

解答： 解：（Ⅰ）∵f(1)=a-

b

2

=

1

2

，a=

b+1

2

，
由f(2)=2a-

b

3

＜2，
∴b＜

3

2

，
又∵a，b∈N^*，
∴b=1，a=1；
（Ⅱ）由（1）得f(x)=x-

1

x+1

，
函數(shù)在（-1，+∞）單調(diào)遞增．
證明：任取x₁，x₂且-1＜x₁＜x₂，
f(x1)-f(x2)=x1-

1

x1+1

-(x2-

1

x2+1

)=(x1-x2)+(

1

x2+1

-

1

x1+1

)
=(x1-x2)+

x1-x2

(x1+1)(x2+1)

=(x1-x2)[1+

1

(x1+1)(x2+1)

]，
∵-1＜x₁＜x₂，
∴x1-x2＜0，1+

1

(x1+1)(x2+1)

＞0，
∴(x1-x2)[1+

1

(x1+1)(x2+1)

]＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
故函數(shù)f(x)=x-

1

x+1

在（-1，+∞）上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求參數(shù)的范圍，不等式的證明，是一樣的綜合題．