Question

如圖，已知△AOB，∠AOB=

π

2

，∠BAO=

π

6

，AB=4，D為線段AB的中點．若△AOC是△AOB繞直線AO旋轉(zhuǎn)而成的．記OB繞O旋轉(zhuǎn)所成角∠BOC為θ．
（1）當(dāng)平面COD⊥平面AOB時，證明：OC⊥OB；
（2）若θ∈[

π

2

，

2π

3

]，求三棱錐C-AOB的體積V的取值范圍．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）在平面AOB內(nèi)過B作OD的垂線，垂足為H，證明BH⊥平面COD，可得BH⊥CO，又因為OC⊥AO，BH和OA相交，所以O(shè)C⊥平面AOB，從而證明OC⊥OB；
（2）V_C-AOB=V_A-OBC=

1

3

×

1

2

×OB×OCsinθ×2

3

=

4 3

3

sinθ，利用θ∈[

π

2

，

2π

3

]，即可求三棱錐C-AOB的體積V的取值范圍．

解答： （1）證明：在平面AOB內(nèi)過B作OD的垂線，垂足為H，
∵平面COD⊥平面AOB，平面COD∩平面AOB=OD，
又BH⊥OD，BH?平面AOB，
則BH⊥平面COD．
又由OC?平面COD，BH⊥CO，
又因為OC⊥AO，BH和OA相交，
所以O(shè)C⊥平面AOB．
又OB?平面AOB，從而OC⊥OB．
（2）解：由題意，AO是三棱錐A-OBC的高，
在直角△AOB中，AB=4，∠AOB=

π

2

，
∴AO=ABcos

π

6

=2

3

，OC=OB=ABsin

π

6

=2，
∴V_C-AOB=V_A-OBC=

1

3

×

1

2

×OB×OCsinθ×2

3

=

4 3

3

sinθ，
∵θ∈[

π

2

，

2π

3

]，
∴

3

2

≤sinθ≤1，
∴2≤V_C-AOB≤

4 3

3

．

點評：本題考查的知識點是與二面角有關(guān)的立體幾何問題，平面與平面垂直的性質(zhì)，考查三棱錐體積的計算，屬于中檔題．