Question

1．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{x}-{log_2}\frac{2+x}{2-x}$．
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷并證明f（x）的奇偶性．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)成立的條件建立不等式關(guān)系即可求出函數(shù)的定義域．
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）有意義，需$\left\{\begin{array}{l}x≠0\\ \frac{2+x}{2-x}＞0\end{array}\right.$，得-2＜x＜2且x≠0，
∴函數(shù)定義域?yàn)閧x|-2＜x＜0或0＜x＜2}．…（6分）
（2）函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∵$f（x）=\frac{1}{x}-{log_2}\frac{2+x}{2-x}=-\frac{1}{x}+{log_2}\frac{2+x}{2-x}=-f（x）$，
又由（1）已知f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴f（x）為奇函數(shù)．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)定義域和函數(shù)奇偶性的判斷，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義是解決本題的關(guān)鍵．