Question

已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊，acosC+

asinC

3

-b=0．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若△ABC的面積為

3

，求bsinB+csinC的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）利用正弦定理把已知等式中的邊轉(zhuǎn)化成角的正弦，利用兩角和公式整理可求得tanA的值，進(jìn)而求得A．
（Ⅱ）根據(jù)三角形面積求得bc的值，利用正弦定理表示出sinB和sinC，整理后根據(jù)基本不等式求得其最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵acosC+

asinC

3

-b=0．
∴sinAcosC+

sinAsinC

3

=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
求得tanA=

3

，
∴A=

π

3

．
（Ⅱ）S=

1

2

bcsinA=

3

，
∴bc=4，
∴bsinB+csinC=

3

2

•

b2+c2

a

=

3

2

•

a2+4

a

≥2

3

，當(dāng)卻僅當(dāng)a=b=c=2取最小值．

點(diǎn)評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，正弦定理的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是利用正弦定理對邊和角的問題進(jìn)行轉(zhuǎn)換．