Question

13．已知函數(shù)f（x）=mx²+2x-1有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是{-1}∪[0，+∞）．

Answer 1

分析 討論函數(shù)的類(lèi)型，開(kāi)口方向，根與系數(shù)的關(guān)系．

解答 解：（1）當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=2x-1，f（x）的零點(diǎn)為x=$\frac{1}{2}$＞0，符合題意．
（2）當(dāng)m＞0時(shí)，f（x）圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為x=-$\frac{1}{m}$＜0，
∴f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，
∵f（x）在（0，+∞）上有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)．
∴f（0）＜0，
即-1＜0，恒成立．
（3）當(dāng)m＜0時(shí)，f（x）圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為x=-$\frac{1}{m}$＞0，
①若△=0，即4+4m=0，解得m=-1，則-$\frac{2}{2m}$＞0，恒成立．
②若△＞0，即4+4m＞0，解得m＞-1，則f（x）=0有兩根，設(shè)為x₁，x₂，
則x₁•x₂=$-\frac{1}{m}$＞0，與f（x）=mx²+2x-1有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)的零點(diǎn)矛盾．
綜上所述：m的取值范圍是{-1}∪[0，+∞）．
故答案為{-1}∪[0，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的根的個(gè)數(shù)與系數(shù)的關(guān)系，是中檔題．