Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=x+ax²+blnx，曲線y=f（x）過P（1，0），且在P點(diǎn)處的切線斜率為2．
（1）求a，b的值；
（2）當(dāng)x∈[1，e]時，求f（x）的最值；
（3）證明：f（x）≤2x-2．

Answer 1

分析 （1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f（1）=0，f′（1）=2，解方程可得a，b的值；
（2）求得導(dǎo)數(shù)，求得極值點(diǎn)，求出端點(diǎn)處的函數(shù)值，可得最值；
（3）構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x²+3lnx，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得極值和最值，即可證得不等式．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x+ax²+blnx的導(dǎo)數(shù)為${f}^{′}（x）=1+2ax+\frac{x}$．
由已知條件得$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=0}\\{{f}^{′}（1）=2}\end{array}\right.即\left\{\begin{array}{l}{1+a=0}\\{1+2a+b=2}\end{array}\right.$，
解得 a=-1，b=3．
（2）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），由（1）知f（x）=x-x²+3lnx．
令 f′（x）=0解得 $x=\frac{3}{2}，x=-1$．

x	$[1，\frac{3}{2}）$	$\frac{3}{2}$	$（\frac{3}{2}，e]$
f′（x）	+	0	-
f（x）	增		減

當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時，取得最大值 $f（\frac{3}{2}）=3ln\frac{3}{2}-\frac{3}{4}$；
當(dāng)x=e時，取得最小值 f（e）=e-e²+3．
（3）設(shè)g（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x²+3lnx，
${g}^{′}（x）=-1-2x+\frac{3}{x}=-\frac{（x-1）（2x+3）}{x}$，
當(dāng)0＜x＜1時，g′（x）＞0，當(dāng)x＞1時，g′（x）＜0，
則g（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減．
即有x=1處取得極大值，且為最大值0
故當(dāng)x＞0時，g（x）≤0，
即f（x）≤2x-2．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查構(gòu)造函數(shù)的思想方法證明不等式，屬于中檔題．