Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x-1）的對稱中心為（1，0），且f（x+2）=-f（x），當x∈（0，1]時，f（x）=2x-1，則f（x）在閉區(qū)間[-2014，2014]上的零點個數(shù)為

 

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Answer 1

考點：函數(shù)的周期性,根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：分析函數(shù)的周期性和對稱性，進而畫出函數(shù)在一個周期上的圖象，分析一個周期內(nèi)零點的個數(shù)，進而得到f（x）在閉區(qū)間[-2014，2014]上的零點個數(shù)．

解答： 解：∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
故函數(shù)f（x）是T=4的周期函數(shù)，
又∵函數(shù)f（x-1）的對稱中心為（1，0），
∴函數(shù)f（x）的對稱中心為（0，0），即函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∵當x∈（0，1]時，f（x）=2x-1，
∴在一個周期[-2，2）上的圖象如下圖所示：

由圖可得在一個周期[-2，2）上函數(shù)有6個零點，
故每個周期[4k-2，4k+2），k∈Z上函數(shù)都有6個零點，
[-2014，2014）上共有[2014-（-2014）]÷4=1007個周期，
故[-2014，2014）共有6×1007=6042個零點，
由f（2014）=0，
故f（x）在閉區(qū)間[-2014，2014]上的零點個數(shù)為6043，
故答案為：6043

點評：本題考查函數(shù)圖象的作法，函數(shù)的周期性，函數(shù)的對稱性，函數(shù)的零點，熟練作出函數(shù)的圖象是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．