Question

已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，1），傾斜角α=

π

6

，
（1）寫出直線l的參數(shù)方程．
（2）設(shè)l與圓x²+y²=4相交于點(diǎn)A、B，求點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離之積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線的參數(shù)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：對(duì)第（1）問，由過(guò)點(diǎn)（x₀，y₀），且傾斜角為α的直線的參數(shù)方程

x=x0+tcosα y=y0+tsinα

可得l的參數(shù)方程；
對(duì)第（2）問，根據(jù)l的參數(shù)方程，可設(shè)A(1+t1cos

π

6

，1+t1sin

π

6

)，B(1+t2cos

π

6

，1+t2sin

π

6

)，再將l的參數(shù)方程代入圓的方程中，得到一個(gè)關(guān)于t的一元二次方程，由韋達(dá)定理可得點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離之積．

解答： 解：（1）因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)（x₀，y₀），且傾斜角為α的直線的參數(shù)方程

x=x0+tcosα y=y0+tsinα

，
由題意，將x₀=1，y₀=1，α=

π

6

代入上式得直線l的參數(shù)方程為

x=1+ 3 2 t y=1+ 1 2 t

（t為參數(shù)）．
（2）因?yàn)锳，B都在直線l上，故可設(shè)它們對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，
則點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(1+t1cos

π

6

，1+t1sin

π

6

)，B(1+t2cos

π

6

，1+t2sin

π

6

)，
將直線l的參數(shù)方程代入圓的方程x²+y²=4中，
整理得t2+(

3

+1)t-2=0，
則t₁，t₂是此方程的兩根，由韋達(dá)定理得t₁t₂=-2，
所以|PA|•|PB|=|t₁t₂|=2．
即點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離之積為2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線的參數(shù)方程的定義及參數(shù)方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握參數(shù)方程中各量的幾何含義及直線上任意一點(diǎn)的參數(shù)表示．從解答過(guò)程可以看出，本題用參數(shù)方程求解，不失為一種較為巧妙且簡(jiǎn)單的方法，值得借鑒．