Question

甲、乙、丙三人參加某項(xiàng)測試，他們能達(dá)標(biāo)的概率分別是

3

4

，

3

5

，m，且三人能否達(dá)標(biāo)互不影響．
（Ⅰ）若三人中至少有一人達(dá)標(biāo)的概率是

24

25

，求m的值；
（Ⅱ）設(shè)甲在3次相互獨(dú)立的測試中能達(dá)標(biāo)的次數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求ξ的概率分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）設(shè)三人中到少有一人達(dá)棱為事件A，則1-P（

.

A

）=1-（1-

3

4

）（1-

3

5

）（1-m）=

24

25

，由此能求出m．
（Ⅱ）由題意知ξ的所有可能ξ 值為0，1，2，3，分別求出相對(duì)應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)三人中到少有一人達(dá)棱為事件A，
則1-P（

.

A

）=1-（1-

3

4

）（1-

3

5

）（1-m）=

24

25

，
解得m=

3

5

．
（Ⅱ）由題意知ξ的所有可能ξ 值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=

C

0 3

(

1

4

)3=

1

64

，
P（ξ=1）=

C

1 3

(

3

4

)(

1

4

)2=

9

64

，
P（ξ=2）=

C

2 3

(

3

4

)2(

1

4

)=

27

64

，
P（ξ=3）=

C

3 3

(

3

4

)3=

27

64

∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	1 64	9 64	27 64	27 64

Eξ=0×

1

64

+1×

9

64

+2×

27

64

+3×

27

64

=

9

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．