Question

已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，S_n是{a_n}的前n項和，且3S_n=（n+2）a_n（n∈N₊）．
（Ⅰ）若記b_n=

an

n(n+1)

，求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）記c_n=

an

an+1

+

an+1

an

，證明：2n＜c₁+c₂+…+c_n＜2n+3，n=1，2，…．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（Ⅰ）根據(jù)遞推數(shù)列，構(gòu)造新數(shù)列，即可求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）求出數(shù)列c_n的通項公式．利用基本不等式以及不等式的放縮法，即可證明不等式．

解答： 解：（Ⅰ）由3S_n=（n+2）a_n，得：3S_n-1=（n+1）a_n-1（n≥2），
兩式相加，得：3a_n=（n+2）a_n-（n+1）a_n-1，（n+1）a_n-1=（n-1）a_n
⇒

an-1

n-1

=

an

n+1

⇒

an-1

n(n-1)

=

an

(n+1)n

，
即b_n-1=b_n，所以{b_n}是常數(shù)列．
又b1=

a1

1×2

=

1

2

，所以bn=

1

2

．   
（Ⅱ）由（Ⅰ）得

an

(n+1)n

=

1

2

，
從而an=

(n+1)n

2

，an+1=

(n+2)(n+1)

2

，

an

an+1

=

n

n+2

，
故cn=

n+2

n

+

n

n+2

．   
由ck=

k+2

k

+

k

k+2

＞2

k+2 k • k k+2

=2，
所以c₁+c₂+…+c_n＞2n．   
又ck=

k+2

k

+

k

k+2

=1+

2

k

+1-

2

k+2

=2+

2

k

-

2

k+2

，
所以c1+c2+…+cn=2n+2(

1

1

-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

)
=2n+3-

2

n+1

-

2

n+2

＜2n+3．    
（注：c1+c2+…+cn=2n+2(

1

1

-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

)=2n+3-

2

n+1

-

2

n+2

，
因為3-

2

n+1

-

2

n+2

＞0，所以c₁+c₂+…+c_n＞2n）

點評：本題主要考查數(shù)列的通項公式以及數(shù)列與不等式的綜合，考查學生的運算能力．