Question

若橢圓上存在一點(diǎn)P，它到橢圓中心和長(zhǎng)軸一個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直，求橢圓離心率e的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：設(shè)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），P（acosθ，bsinθ），由題設(shè)條件推導(dǎo)出（acosθ，bsinθ）•（acosθ-a，bsinθ）=0，由此能求出橢圓離心率e的取值范圍．

解答： 解：設(shè)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），P（acosθ，bsinθ），
∵θ≠90，∴不妨設(shè)0°＜θ＜90°，長(zhǎng)軸端點(diǎn)A（a，0），
∵點(diǎn)P到橢圓中心和長(zhǎng)軸一個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直，
∴OP⊥PA，
∴（acosθ，bsinθ）•（acosθ-a，bsinθ）=0，
∴a²（cos²θ-cosθ）+b²sin²θ=0，
整理得

b2

a2

=1-e2
=

cosθ-cos2θ

sin2θ

=

cosθ(1-cosθ)

1-cos2θ

=

cosθ

1+cosθ

，
∵0°＜θ＜90°，∴0＜cosθ＜1，
∴e²=1-

cosθ

1+cosθ

=

1

1+cosθ

∈（

1

2

，1），
∴e∈（

2

2

，1）．
∴橢圓離心率e的取值范圍是（

2

2

，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的離心率的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意橢圓的參數(shù)方程的合理運(yùn)用．